早在十八世紀(jì)法國思想家孔多賽就提出了著名的“投票悖論”，也稱做是“孔多塞悖論”：假設(shè)甲乙丙三人，面對ABC三個備選方案，有如圖的偏好排序。由于甲乙都認(rèn)為B好于C，根據(jù)少數(shù)服從多數(shù)原則，社會也應(yīng)認(rèn)為B好于C；同樣乙丙都認(rèn)為C好于A，社會也應(yīng)認(rèn)為C好于A。所以社會認(rèn)為B好于A。但是，甲丙都認(rèn)為A好于B，所以出現(xiàn)矛盾。投票悖論反映了直觀上良好的民主機(jī)制潛在的不協(xié)調(diào)。

投票悖論指的是在通過“多數(shù)原則”實(shí)現(xiàn)個人選擇到集體選擇的轉(zhuǎn)換過程中所遇到的障礙或非傳遞性，這是阿羅的不可能定理衍生出的難題。公共選擇理論對投票行為的研究假設(shè)投票是那些其福利受到投票結(jié)果影響的人們進(jìn)行的，投票行為的作用是將個人偏好轉(zhuǎn)化為社會偏好。在多數(shù)投票原則下，可能沒有穩(wěn)定一致的結(jié)果。

在得多數(shù)票獲勝的規(guī)則下，每個人均按照他的偏好來投票。大多數(shù)人是偏好x勝于y，同樣大多數(shù)人也是偏好y勝于z。按照邏輯上的一致性，這種偏好應(yīng)當(dāng)是可以傳遞的(transivity)，即大多數(shù)人偏好x勝于z。但實(shí)際上，大多數(shù)人偏好z勝于x。因此，以投票的多數(shù)規(guī)則來確定社會或集體的選擇會產(chǎn)生循環(huán)的結(jié)果，這就好象一只狗在追自己的尾巴，會沒完沒了地循環(huán)下去。結(jié)果，在這些選擇方案中，沒有一個能夠獲得多數(shù)票而通過，這被稱作“投票悖論” (the voting paradox)，它對所有的公共選擇問題都是一種固有的難題，所有的公共選擇規(guī)則都難以避開這種兩難境地。

1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的獲得者肯尼思·阿羅，在他的《社會選擇與個人價值》（1951）中，證明了著名的阿羅不可能性定理，把這個投票悖論形式化了。在該書中，他運(yùn)用數(shù)學(xué)工具把孔多塞的觀念嚴(yán)格化和一般化了。

那么，能不能設(shè)計(jì)出一個消除循環(huán)投票，做出合理決策的投票方案呢？阿羅的結(jié)論是：根本不存在一種能保證效率、尊重個人偏好、并且不依賴程序 (agenda)的多數(shù)規(guī)則的投票方案。

阿羅證明，不存在同時滿足如下四個基本公理的社會選擇函數(shù)：

1）個人偏好的無限制性，即對一個社會可能存在的所有狀態(tài)，任何邏輯上可能的個人偏好都不應(yīng)當(dāng)先驗(yàn)地被排除；

2）弱帕累托原則，

3）非相關(guān)目標(biāo)獨(dú)立性，即關(guān)于一對社會目標(biāo)的社會偏好序不受其它目標(biāo)偏好序變化的影響；

4），社會偏好的非獨(dú)裁性。

簡單地說，阿羅的不可能定理意味著，在通常情況下，當(dāng)社會所有成員的偏好為已知時，不可能通過一定的方法從個人偏好次序得出社會偏好次序，不可能通過一定的程序準(zhǔn)確地表達(dá)社會全體成員的個人偏好或者達(dá)到合意的公共決策。投票悖論表明：根本不存在一種能滿足阿羅五個假設(shè)條件的社會選擇原理。解決投票悖論的方法是限制投票偏好，即將多峰偏好改為單峰偏好。

1998年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者阿馬蒂亞·森在20世紀(jì)70年代提出對“投票悖論”的解決方法。阿馬蒂亞·森所提出的解決投票悖論、繞過“阿羅不可能定理”的方法就是改變甲、乙、丙其中一個人的偏好次序，以解決投票悖論的問題。

比如將甲的偏好次序從（A ＞ B ＞ C）改變?yōu)椋ˋ ＞ C ＞ B） 新的偏好次序排列：

于是我們得到三個社會偏好次序——（A ＞ B ）（C ＞ B ）（C ＞ A ）,這樣就能避開投票悖論，當(dāng)然它卻改變了甲的偏好次序。

阿馬蒂亞·森把這個發(fā)現(xiàn)加以延伸和拓展，得出了解決投票悖論的三種選擇模式：

• 一、所有人都同意其中一項(xiàng)選擇方案并非是最佳；
• 二、所有人都同意其中一項(xiàng)選擇方案并非是次佳；
• 三、所有人都同意其中一項(xiàng)選擇方案并非是最差。

阿馬蒂亞·森表示在上述三種選擇模式下，投票悖論不會再出現(xiàn)，取而代之的結(jié)果是得大多數(shù)票者獲勝的規(guī)則總是能達(dá)到唯一的決定。但是有一個問題是為了追求一致性，改變、忽略、犧牲了個人偏好次序。