平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法

1.平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法概述

1、時(shí)間序列 $Y t$ 取自某一個(gè)隨機(jī)過程，如果此隨機(jī)過程的隨機(jī)特征不隨時(shí)間變化，則稱過程是平穩(wěn)的；假如該隨機(jī)過程的隨機(jī)特征隨時(shí)間變化，則稱過程是非平穩(wěn)的。

2、寬平穩(wěn)時(shí)間序列的定義：設(shè)時(shí)間序列 $y t$ ，對(duì)于任意的t,k和m，滿足：

$E (y t) = E (y t + m)$

$c o v (y t, y t + k) = c o v (y t + m, y t + m + k)$

則稱 $y t$ 寬平穩(wěn)。

3、Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法。他們的工作為實(shí)際工作者提供了對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)，以及對(duì)ARMA模型識(shí)別、估計(jì)和診斷的系統(tǒng)方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規(guī)、結(jié)構(gòu)化的建模方法，并且具有統(tǒng)計(jì)上的完善性和牢固的理論基礎(chǔ)。

4、ARMA模型三種基本形式：自回歸模型（AR：Auto-regressive），移動(dòng)平均模型（MA：Moving-Average）和混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。

（1）自回歸模型AR(p)：如果時(shí)間序列 $y t$ 滿足

$y_t=phi_1 y_{t-1}+ldots+phi_p y_{t-p}+epsilon_t$

其中 $ε t$ 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且滿足：

$E(epsilon_t)=0,Var(epsilon_t)=sigma^2_epsilon>0$

則稱時(shí)間序列 $y t$ 服從p階自回歸模型。或者記為 $φ(B) y t = y t - k$ 。

平穩(wěn)條件：滯后算子多項(xiàng)式 $phi(B)=1-phi_1 B+ldots+phi_p B^p$ 的根均在單位圓外，即 $φ(B) = 0$ 的根大于1。

（2）移動(dòng)平均模型MA(q)：如果時(shí)間序列 $y t$ 滿足：

$y_t=epsilon_t- heta_1epsilon_{t-1}-ldots- heta_qepsilon_{t-q}$

則稱時(shí)間序列服從q階移動(dòng)平均模型?；蛘哂洖?span id="agukcgk" class="texhtml">y_t = θ(B)ε₁。

平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。

（3）ARMA(p,q)模型：如果時(shí)間序列 $y t$ 滿足

$y_t=phi_1 y_{t-1}+ldots+phi_p y_{t-p}+epsilon_t- heta_1epsilon_{t-1}-ldots- heta_qepsilon_{t-q}$

則稱時(shí)間序列 $y t$ 服從(p,q)階自回歸移動(dòng)平均模型。或者記為 $φ(B) y t = θ(B)ε t$ 。

特殊情況：q=0,模型即為AR(p)，p=0, 模型即為MA(q)。

2.時(shí)間序列的自相關(guān)分析

1、自相關(guān)分析法是進(jìn)行時(shí)間序列分析的有效方法，它簡(jiǎn)單易行、較為直觀，根據(jù)繪制的自相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)分析圖，我們可以初步地識(shí)別平穩(wěn)序列的模型類型和模型階數(shù)。利用自相關(guān)分析法可以測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性和平穩(wěn)性，以及時(shí)間序列的季節(jié)性。

2、自相關(guān)函數(shù)的定義：滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為： $r k = c o v (y t - k, y t)$ ，則 $y t$ 的自相關(guān)函數(shù)為： $ho_k=frac{r_k}{sigma_{y_{t-k}}sigma_{y_t}}$ ，其中 $sigma^2_{y_t}=E(y_t-E(Y_t))^2$ 。當(dāng)序列平穩(wěn)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)可寫為： $ho_k=frac{r_k}{r_o}$ 。

3、樣本自相關(guān)函數(shù)為： $hat{ ho_k}=frac{sum^{n-k}_{t=1}(y_t-ar{y})(y_{t+k}-ar{y})}{sum{n}{t=1}(y_t-ar{y})^2}$ ，其中 $ar{y}=sum{n}{t=1}y_t/n$ ，它可以說明不同時(shí)期的數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度，其取值范圍在-1到1之間，值越接近于1，說明時(shí)間序列的自相關(guān)程度越高。

4、樣本的偏自相關(guān)函數(shù)：

平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法

5、時(shí)間序列的隨機(jī)性，是指時(shí)間序列各項(xiàng)之間沒有相關(guān)關(guān)系的特征。使用自相關(guān)分析圖判斷時(shí)間序列的隨機(jī)性，一般給出如下準(zhǔn)則：

①若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)基本上都落入置信區(qū)間，則該時(shí)間序列具有隨機(jī)性；

②若較多自相關(guān)函數(shù)落在置信區(qū)間之外，則認(rèn)為該時(shí)間序列不具有隨機(jī)性。

6、判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)，是一項(xiàng)很重要的工作。運(yùn)用自相關(guān)分析圖判定時(shí)間序列平穩(wěn)性的準(zhǔn)則是：

①若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù) $hat{ ho_k}$ 在k>3時(shí)都落入置信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時(shí)間序列具有平穩(wěn)性；

②若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)更多地落在置信區(qū)間外面，則該時(shí)間序列就不具有平穩(wěn)性。

7、ARMA模型的自相關(guān)分析

AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù) $φ k k$ 是以p步截尾的，自相關(guān)函數(shù)拖尾。MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)具有q步截尾性，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾。這兩個(gè)性質(zhì)可以分別用來識(shí)別自回歸模型和移動(dòng)平均模型的階數(shù)。ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是拖尾的。

3.單位根檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)

1、單位根檢驗(yàn)

①利用迪基—福勒檢驗(yàn)（Dickey-Fuller Test）和菲利普斯—佩榮檢驗(yàn)（Philips-Perron Test）,也可以測(cè)定時(shí)間序列的隨機(jī)性，這是在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中非常重要的兩種單位根檢驗(yàn)方法，與前者不同的事，后一個(gè)檢驗(yàn)方法主要應(yīng)用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關(guān)的情況。

②隨機(jī)游動(dòng)

如果在一個(gè)隨機(jī)過程中， $y t$ 的每一次變化均來自于一個(gè)均值為零的獨(dú)立同分布，即隨機(jī)過程 $y t$ 滿足：

$y_t=Y_{t-1}+epsilon_t,t=1,2ldots,$

其中 $ε t$ 獨(dú)立同分布，并且：

$E(epsilon_t)=0,Var(epsilon_t)=E(epsilon^2_t)=sigma^2<infty$

稱這個(gè)隨機(jī)過程是隨機(jī)游動(dòng)。它是一個(gè)非平穩(wěn)過程。

③單位根過程

設(shè)隨機(jī)過程 $y t$ 滿足： $y_t= ho y_{t-1}+mu_t,t=1,2ldots,$ 其中 $ρ = 1$ ， $μ t$ 為一個(gè)平穩(wěn)過程并且 $E(mu_t)=0,cov(mu_t,mu_{t-s})=mu_s<infty,s=0,1,2ldots$

2、協(xié)整關(guān)系

如果兩個(gè)或多個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，其某個(gè)現(xiàn)性組合后的序列呈平穩(wěn)性，這樣的時(shí)間序列間就被稱為有協(xié)整關(guān)系存在。這是一個(gè)很重要的概念，利用Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗(yàn)法和Johansen協(xié)整檢驗(yàn)法可以測(cè)定時(shí)間序列間的協(xié)整關(guān)系。

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平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法

目錄

1.平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法概述

2.時(shí)間序列的自相關(guān)分析

3.單位根檢驗(yàn)和協(xié)整檢驗(yàn)